Esfera sólida uniformemente cargada

El problema de la esfera cargada eléctricamente es un problema típico de los cursos de electromagnetismo. El caso del cascarón cargado es revisado aquí.
A continuación veremos como calcular el campo eléctrico dentro y fuera de una esfera solida de radio R uniformemente cargada.

Afuera de la esfera.

Para simplificar los cálculos, vamos a poner el punto de observación sobre el eje z. Si la esfera está cargada uniformemente, tendremos que

$$\rho=\frac{Q}{V}$$

en donde Q es la carga total distribuida sobre el volumen total V de la esfera, entonces tendremos que para un diferencial de carga

$$dq=\rho{d}V$$ 

Entonces, el campo eléctrico generado por un diferencial de volumen está dado por la ley de Coulomb como

$$d\textbf{E}=\frac{\rho}{4\pi\epsilon_0}\frac{(\textbf{z}-\textbf{r})}{|\textbf{z}-\textbf{r}|^3}dV$$

En coordenadas esféricas tendremos lo siguiente,

$$dV=r^2sen(\theta)dr d\theta{d\phi}$$

$$\textbf{r}=rsen(\theta)cos(\phi)\textbf{i}+rsen(\theta)sen(\phi)\textbf{j}+rcos(\theta)\textbf{k}$$

$$\textbf{z}=z\textbf{k}$$

$$|\textbf{z}-\textbf{r}|=(r^2+z^2-2rzcos(\theta))^{\frac12}$$

Ahora si podemos calcular el campo eléctrico total de la siguiente manera

$$\textbf{E}=\frac{\rho}{4\pi\epsilon_0}\int_0^R\int_0^{\pi}\int_0^{2\pi}\frac{(rsen(\theta)cos(\phi)\textbf{i}+rsen(\theta)sen(\phi)\textbf{j}+(-rcos(\theta)+z)\textbf{k}}{(r^2+z^2-2rzcos(\theta))^{\frac32}}$$

$$\times r^2sen(\theta)dr d\theta{d\phi}$$

La integral en la coordenada \phi es muy fácil de realizar,

$$\int_0^{2\pi}sen(\phi)d\phi=-cos(\phi)|_0^{2\pi}=-(cos(2\pi)-cos(0))=-(1-1)=0$$

$$\int_0^{2\pi}cos(\phi)d\phi=sen(\phi)|_0^{2\pi}=(sen(2\pi)-sen(0))=-(0-0)=0$$

Entonces

$$\textbf{E}=\frac{\rho\textbf{k}}{2\epsilon_0}\int_0^R\int_0^{\pi}\frac{-(rcos(\theta)-z)}{(r^2+z^2-2rzcos(\theta))^{\frac32}}$$

$$\times r^2sen(\theta)drd\theta$$

La integral de \theta es un poco más complicada de realizar. Para ello hay que realizar la sustitución 

$$u=r^2+R^2-2rRcos(\theta) \rightarrow du=2rRsen(\theta)d\theta $$

y luego

$$rcos(\theta)=\frac{r^2+z^2-u}{2z}$$

Luego los limites de integración se sustituyen

$$\theta=0\rightarrow u=r^2+z^2-2rz$$

$$\theta=\pi\rightarrow u=r^2+z^2+2rz$$

Entonces esto sigue como

$$\textbf{E}=\frac{\rho\textbf{k}}{2\epsilon_0}\int_0^R\int_{r^2+z^2-2rz}^{r^2+z^2+2rz}\frac{-(\frac{r^2+z^2-u}{2z}-z)}{u^{\frac32}}\frac{r^2}{2rz}drdu$$

$$\textbf{E}=\frac{-\rho\textbf{k}}{2\epsilon_0}\int_0^R\int_{r^2+z^2-2rz}^{r^2+z^2+2rz}\frac{1}{2z}\frac{(r^2+z^2-u-2z^2)}{u^{\frac32}}\frac{r}{2z}drdu$$

$$\textbf{E}=\frac{-\rho\textbf{k}}{8z^2\epsilon_0}\int_0^R\int_{r^2+z^2 2rz}^{r^2+z^2+2rz}\frac{(r^2-z^2-u)}{u^{\frac32}}rdrdu$$

$$\textbf{E}=\frac{-\rho\textbf{k}}{8z^2\epsilon_0}\int_0^R\int_{r^2+z^2 2rz}^{r^2+z^2+2rz}[(r^2-z^2)u^{\frac{-3}2}-u^{\frac{-1}2}]rdrdu$$

$$\textbf{E}=\frac{-\rho\textbf{k}}{8z^2\epsilon_0}\int_0^R[-2(r^2-z^2)u^{\frac{-1}2}-2u^{\frac{1}2}]|_{r^2+z^2 2rz}^{r^2+z^2+2rz}rdr$$

$$\textbf{E}=\frac{-\rho\textbf{k}}{8z^2\epsilon_0}\int_0^R[-2(r^2-z^2)((r^2+z^2+2rz)^{\frac{-1}2}-(r^2+z^2-2rz)^{\frac{-1}2})$$

$$-2((r^2+z^2+2rz^{\frac{1}2})-(r^2+z^2-2rz)^{\frac12})]rdr$$

Aquí es donde viene el paso importante (*)

como z>r, podemos facotrizar

$$r^2+z^2-2rz=(z-r)^2$$

y obtenemos

$$\textbf{E}=\frac{-\rho\textbf{k}}{8z^2\epsilon_0}\int_0^R[-2(r^2-z^2)((z+r)^{\frac{-2}2}-(z-r)^{\frac{-2}2})$$

$$-2((z+r)^{\frac{2}2})-(z-r)^{\frac22})]rdr$$

$$\textbf{E}=\frac{-\rho\textbf{k}}{8z^2\epsilon_0}\int_0^R[-2(r^2-z^2)((z+r)^{-1}-(z-r)^{-1})$$

$$-2((z+r)-(z-r))]rdr$$

$$\textbf{E}=\frac{-\rho\textbf{k}}{8z^2\epsilon_0}\int_0^R[-2(r^2-z^2)((z+r)^{-1}-(z-r)^{-1})-4r]rdr$$

$$\textbf{E}=\frac{-\rho\textbf{k}}{8z^2\epsilon_0}\int_0^R[-2\frac{(r-z)(r+z)}{(z+r)}+2\frac{(r-z)(r+z)}{(z-r)}-4r]rdr$$

$$\textbf{E}=\frac{-\rho\textbf{k}}{8z^2\epsilon_0}\int_0^R[-2(r-z)-2(r+z)-4r]rdr$$

$$\textbf{E}=\frac{-\rho\textbf{k}}{8z^2\epsilon_0}\int_0^R[-4r-4r]rdr$$

$$\textbf{E}=\frac{\rho\textbf{k}}{z^2\epsilon_0}\int_0^Rr^2dr$$

Esta ultima integral es muy sencilla

$$4\int_0^Rr^2dr=\frac{R^3}{3}$$

Así, el campo eléctrico es

$$\textbf{E}=\frac{\rho R^3}{3z^2\epsilon_0}\textbf{k}$$

Pero esa no es toda la historia, pues podemos expresar esto en términos de la carga total en la esfera

$$\textbf{E}=\frac{(\frac{Q}{V})R^3}{3z^2\epsilon_0}\textbf{k}$$

$$\textbf{E}=(\frac{3}{4\pi R^3})\frac{QR^3}{3z^2\epsilon_0}\textbf{k}$$

$$\textbf{E}=(\frac{1}{4\pi})\frac{Q}{z^2\epsilon_0}\textbf{k}$$

$$\textbf{E}=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0 z^2}\textbf{k}$$

Esto signifca que el campo eléctrico fuera de la esfera se comporta como si toda la carga estuviera en un solo punto en el centro.

Dentro de la esfera

Cuando el punto de observación está dentro de la esfera, las integrales angulares no cambian, pero si ocurre algo en la integral radial. Lo que ocurre es que habrá una región en donde z>r y otra donde r<z, y es importante diferenciarlas separando la integral en estas dos regiones. Entonces, volvemos a (*) y escribimos la ecuación como

$$\textbf{E}=\frac{-\rho\textbf{k}}{8z^2\epsilon_0}\int_0^z[-2(r^2-z^2)((r^2+z^2+2rz)^{\frac{-1}2}-(r^2+z^2-2rz)^{\frac{-1}2})$$

$$-2((r^2+z^2+2rz^{\frac{1}2})-(r^2+z^2-2rz)^{\frac12})]rdr$$

$$+\frac{-\rho\textbf{k}}{8z^2\epsilon_0}\int_z^R[-2(r^2-z^2)((r^2+z^2+2rz)^{\frac{-1}2}-(r^2+z^2-2rz)^{\frac{-1}2})$$

$$-2((r^2+z^2+2rz^{\frac{1}2})-(r^2+z^2-2rz)^{\frac12})]rdr$$

$$\textbf{E}=\frac{-\rho\textbf{k}}{8z^2\epsilon_0}\int_0^z[-2(r^2-z^2)((z+r)^{\frac{-2}2}-(z-r)^{\frac{-2}2})$$

$$-2((z+r)^{\frac{2}2})-(z-r)^{\frac22})]rdr$$

$$+\frac{-\rho\textbf{k}}{8z^2\epsilon_0}\int_z^R[-2(r^2-z^2)((z+r)^{\frac{-2}2}-(r-z)^{\frac{-2}2})$$

$$-2((r+z)^{\frac{2}2})-(r-z)^{\frac22})]rdr$$

$$\textbf{E}=\frac{-\rho\textbf{k}}{8z^2\epsilon_0}\int_0^z[-2(r^2-z^2)((z+r)^{-1}-(z-r)^{-1})$$

$$-2((z+r)-(z-r))]rdr$$

$$+\frac{-\rho\textbf{k}}{8z^2\epsilon_0}\int_z^R[-2(r^2-z^2)((r+z)^{-1}-(r-z)^{-1})$$

$$-2((z+r)-(r-z))]rdr$$

$$\textbf{E}=\frac{-\rho\textbf{k}}{8z^2\epsilon_0}\int_0^z[-2(r+z)(r-z)((z+r)^{-1}-(z-r)^{-1})$$

$$-4r]rdr$$

$$+\frac{-\rho\textbf{k}}{8z^2\epsilon_0}\int_z^R[-2(r+z)(r-z)((r+z)^{-1}-(r-z)^{-1})$$

$$-4z]rdr$$

$$\textbf{E}=\frac{-\rho\textbf{k}}{8z^2\epsilon_0}\int_0^z[-2((r-z)+(z+r))-4r]rdr$$

$$+\frac{-\rho\textbf{k}}{8z^2\epsilon_0}\int_z^R[-2((r-z)-(r+z))-4z]rdr$$

$$\textbf{E}=\frac{-\rho\textbf{k}}{8z^2\epsilon_0}\int_0^z[-4r-4r]rdr$$

$$+\frac{-\rho\textbf{k}}{8z^2\epsilon_0}\int_z^R[4z-4z]rdr$$

$$\textbf{E}=\frac{\rho\textbf{k}}{z^2\epsilon_0}\int_0^zr^2dr$$

Esta es una integral muy sencilla, así que el campo dentro de la esfera es

$$\textbf{E}=\frac13\frac{\rho}{z^2\epsilon_0}(z^3)\textbf{k}$$

$$\textbf{E}=\frac13\frac{\rho z}{\epsilon_0}\textbf{k}$$

Pero al igual que fuera de la esfera, podemos escribir el campo en términos de la carga total

$$\textbf{E}=\frac13\frac{3Qz}{4\pi R^3\epsilon_0}\textbf{k}$$

$$\textbf{E}=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0}\frac{z}{R^3}\textbf{k}$$

En el caso dentro de la esfera, el campo eléctrico es lineal con respecto a z.