Cascarón uniformemente cargado

El caso del cascarón uniformemente cargado es muy similar al caso de la esfera sólido. A continuación veremos como calcular el campo eléctrico dentro y fuera de un cascarón de radio R uniformemente cargada.

Afuera del cascarón

Para simplificar los cálculos, vamos a poner el punto de observación sobre el eje z. Si la esfera está cargada uniformemente, tendremos que

$$\rho=\frac{Q}{A}$$

en donde Q es la carga total distribuida sobre el área total A del cascarón, entonces tendremos que para un diferencial de carga

$$dq=\sigma{d}A$$ 

Entonces, el campo eléctrico generado por un diferencial de volumen está dado por la ley de Coulomb como

$$d\textbf{E}=\frac{\sigma}{4\pi\epsilon_0}\frac{(\textbf{z}-\textbf{R})}{|\textbf{z}-\textbf{R}|^3}dA$$

En coordenadas esféricas tendremos lo siguiente,

$$dA=R^2sen(\theta)d\theta{d\phi}$$

$$\textbf{R}=Rsen(\theta)cos(\phi)\textbf{i}+Rsen(\theta)sen(\phi)\textbf{j}+Rcos(\theta)\textbf{k}$$

$$\textbf{z}=z\textbf{k}$$

$$|\textbf{z}-\textbf{R}|=(R^2+z^2-2Rzcos(\theta))^{\frac12}$$

Ahora si podemos calcular el campo eléctrico total de la siguiente manera

$$\textbf{E}=\frac{\sigma}{4\pi\epsilon_0}\int_0^{\pi}\int_0^{2\pi}\frac{(Rsen(\theta)cos(\phi)\textbf{i}+Rsen(\theta)sen(\phi)\textbf{j}+(-Rcos(\theta)+z)\textbf{k}}{(R^2+z^2-2Rzcos(\theta))^{\frac32}}$$

$$\times R^2sen(\theta)d\theta{d\phi}$$

La integral en la coordenada \phi es muy fácil de realizar,

$$\int_0^{2\pi}sen(\phi)d\phi=-cos(\phi)|_0^{2\pi}=-(cos(2\pi)-cos(0))=-(1-1)=0$$

$$\int_0^{2\pi}cos(\phi)d\phi=sen(\phi)|_0^{2\pi}=(sen(2\pi)-sen(0))=-(0-0)=0$$

Entonces

$$\textbf{E}=\frac{\sigma\textbf{k}}{2\epsilon_0}\int_0^{\pi}\frac{-(Rcos(\theta)-z)}{(R^2+z^2-2Rzcos(\theta))^{\frac32}}$$

$$\times R^2sen(\theta)d\theta$$

La integral de \theta es un poco más complicada de realizar. Para ello hay que realizar la sustitución 

$$u=z^2+R^2-2rRcos(\theta) \rightarrow du=2zRsen(\theta)d\theta $$

y luego

$$rcos(\theta)=\frac{R^2+z^2-u}{2z}$$

Luego los limites de integración se sustituyen

$$\theta=0\rightarrow u=R^2+z^2-2Rz$$

$$\theta=\pi\rightarrow u=R^2+z^2+2Rz$$

Entonces esto sigue como

$$\textbf{E}=\frac{\sigma\textbf{k}}{2\epsilon_0}\int_{R^2+z^2-2Rz}^{R^2+z^2+2Rz}\frac{-(\frac{R^2+z^2-u}{2z}-z)}{u^{\frac32}}\frac{R^2}{2Rz}du$$

$$\textbf{E}=\frac{-\sigma\textbf{k}}{2\epsilon_0}\int_{R^2+z^2-2Rz}^{R^2+z^2+2Rz}\frac{1}{2z}\frac{(R^2+z^2-u-2z^2)}{u^{\frac32}}\frac{R}{2z}du$$

$$\textbf{E}=\frac{-\sigma\textbf{k}}{8z^2\epsilon_0}\int_{R^2+z^2 2Rz}^{R^2+z^2+2Rz}\frac{(R^2-z^2-u)}{u^{\frac32}}Rdu$$

$$\textbf{E}=\frac{-\sigma\textbf{k}}{8z^2\epsilon_0}\int_{R^2+z^2 2Rz}^{R^2+z^2+2Rz}[(R^2-z^2)u^{\frac{-3}2}-u^{\frac{-1}2}]Rdu$$

$$\textbf{E}=\frac{-\sigma\textbf{k}}{8z^2\epsilon_0}[-2(R^2-z^2)u^{\frac{-1}2}-2u^{\frac{1}2}]|_{R^2+z^2 2Rz}^{R^2+z^2+2Rz}R$$

$$\textbf{E}=\frac{-\rho\textbf{k}}{8z^2\epsilon_0}[-2(R^2-z^2)((R^2+z^2+2Rz)^{\frac{-1}2}-(R^2+z^2-2Rz)^{\frac{-1}2})$$

$$-2((R^2+z^2+2Rz^{\frac{1}2})-(R^2+z^2-2Rz)^{\frac12})]R$$

Aquí es donde viene el paso importante (*)

como z>R, podemos facotrizar

$$R^2+z^2-2Rz=(z-R)^2$$

y obtenemos

$$\textbf{E}=\frac{-\sigma\textbf{k}}{8z^2\epsilon_0}[-2(R^2-z^2)((z+R)^{\frac{-2}2}-(z-R)^{\frac{-2}2})$$

$$-2((z+R)^{\frac{2}2})-(z-R)^{\frac22})]R$$

$$\textbf{E}=\frac{-\sigma\textbf{k}}{8z^2\epsilon_0}[-2(R^2-z^2)((z+R)^{-1}-(z-R)^{-1})$$

$$-2((z+R)-(z-R))]R$$

$$\textbf{E}=\frac{-\sigma\textbf{k}}{8z^2\epsilon_0}[-2(R^2-z^2)((z+R)^{-1}-(z-R)^{-1})-4R]R$$

$$\textbf{E}=\frac{-\sigma\textbf{k}}{8z^2\epsilon_0}[-2\frac{(R-z)(R+z)}{(z+R)}+2\frac{(R-z)(R+z)}{(z-R)}-4R]R$$

$$\textbf{E}=\frac{-\sigma\textbf{k}}{8z^2\epsilon_0}[-2(R-z)-2(R+z)-4R]R$$

$$\textbf{E}=\frac{-\sigma\textbf{k}}{8z^2\epsilon_0}[-4R-4R]R$$

$$\textbf{E}=\frac{\sigma\textbf{k}}{z^2\epsilon_0}R^2$$

Entonces el campo eléctrico es

$$\textbf{E}=\frac{\sigma R^2}{z^2\epsilon_0}\textbf{k}$$

Pero al igual que con la esfera sólida, podemos expresarlo en términos de la carga total.

$$\textbf{E}=\frac{\frac{Q}{A} R^2}{z^2\epsilon_0}\textbf{k}$$

$$\textbf{E}=\frac{QR^2}{4\pi R^2z^2\epsilon_0}\textbf{k}$$

$$\textbf{E}=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0z^2}\textbf{k}$$

Esto significa que el campo eléctrico se comporta como si toda la carga estuviera en el centro del cascarón.

Dentro del cascarón

Cuando el punto de observación está dentro del cascarón, ocurre que región  z>R. Por lo que la factorización en (*) será diferente

$$R^2+z^2-2Rz=(R-z)^2$$

Entonces,

$$\textbf{E}=\frac{-\sigma\textbf{k}}{8z^2\epsilon_0}[-2(R^2-z^2)((R+z)^{\frac{-2}2}-(R-z)^{\frac{-2}2})$$

$$-2((R+z)^{\frac{2}2})-(R-z)^{\frac22})]R$$

$$\textbf{E}=\frac{-\sigma\textbf{k}}{8z^2\epsilon_0}[-2(R^2-z^2)((R+z)^{-1}-(R-z)^{-1})$$

$$-2((R+z)-(R-z))]R$$

$$\textbf{E}=\frac{-\sigma\textbf{k}}{8z^2\epsilon_0}[-2(R^2-z^2)((R+z)^{-1}-(R-z)^{-1})-4z]R$$

$$\textbf{E}=\frac{-\sigma\textbf{k}}{8z^2\epsilon_0}[-2\frac{(R-z)(R+z)}{(R+z)}+2\frac{(R-z)(R+z)}{(R-z)}-4R]R$$

$$\textbf{E}=\frac{-\sigma\textbf{k}}{8z^2\epsilon_0}[-2(R-z)+2(R+z)-4z]R$$

$$\textbf{E}=\frac{-\sigma\textbf{k}}{8z^2\epsilon_0}[4z-4z]R$$

$$\textbf{E}=\textbf{0}$$

Esto quiere decir que el campo eléctrico dentro del cascarón es nulo.