Ecuaciones relativistas de la mecánica cuántica

De la mecánica cuántica clásica, sabemos que la substitución canónica es

$$p\rightarrow\frac{\hbar}{i}\nabla$$

$$E\rightarrow i\hbar\frac{\partial}{\partial{t}}$$

Y si $$E=\frac{p^2}{2m}+v$$, se puede obtener la ecuación de Schrödinger haciendo la substitución canónica

$$i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial{t}}=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi + V\psi$$

Se puede obtener una ecuación cuántica relativista para partícula libre haciendo esta substitución a la relación básica de relatividad especial $$E^2=p^2c^2+m^2c^4$$

$$\rightarrow -\hbar^2\frac{\partial^2\psi}{\partial{t^2}}=-\hbar^2{c^2}\nabla^2\psi+m^2c^4\psi$$

Definiendo $$\Box=\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial{t^2}}-\nabla^2$$

La ecuación relativista puede ser reescrita como

$$\Box\psi+\frac{m^2c^4}{\hbar^2}\psi=0$$ 

La ecuación anterior es llamada la ecuación de Klein-Gordon. Esta ecuación gobierna el comportamiento de partículas bosónicas, que son las que tienen espín entero. Pero la ecuación de Klein-Gordon tiene un problema, y este es que las energías de las soluciones no están acotadas. Esto significa que existen soluciones con energía negativa. Esto hizo que en su tiempo esta ecuación no fuera aceptada del todo.

Para solucionar el problema de las energías negativas, Dirac propone una ecuación tipo Schrödinger, es decir, que sea lineal en el tiempo.

$$\beta{m}c^2\psi+\Sigma_{i=1}^3\alpha_ip_ic\psi=i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial{t}}$$

Para determinar el valor de estas constantes, Dirac propuso también se debe satisfacer la ecuación de Klein-Gordon. Para eso, primero veamos que

$$(\beta{m}c^2\psi+\alpha_ip^ic)^2=\beta^2m^2+(\alpha_i)^2(p^i)^2+\{\beta,\alpha_i\}mp^i+\frac12\{\alpha_i,\alpha_j\}p^ip^j$$

Aquí se utiliza la convención de indices de Einstein y se define el anticonmutador como $$\{A,B\}=AB+BA$$ 

 Ahora,

$$-\hbar^2\frac{\partial^2\psi}{\partial{t^2}}=-i\frac{\partial}{\partial t}(\beta{m}c^2\psi+\alpha_ip_ic\psi)$$

    $$= i(\beta{m}c^2\psi+\alpha_ip_ic)\frac{\partial\psi}{\partial t}=$$

    $$(\beta{m}c^2\psi+\alpha_ip_ic\psi)^2$$

Entonces, para conseguir la igualdal entre esta expresión y la de Klein-Gordon se debe cumplir que

$$\beta^2=(\alpha_i)^2=0$$

$$\{\beta,\alpha_i\}=\{\alpha,\alpha_j\}=0$$

Con estas condiciones, las constantes no pueden ser números sino matrices de 4x4

Haciendo $$\gamma^0=\beta$$  $$\gamma^i=\beta\alpha_i$$ podemos escribir la ecuación en forma covariante como

 $$i\hbar{c}\gamma^{\mu}\frac{\partial\psi}{\partial{x^{\mu}}} - mc^2\psi=0$$

Esta es la ecuación de Dirac en su forma covariante y modela el comportamiento de partículas fermionicas con espín semi-entero.

Pero esta ecuación no resuelve el problema de las energías negativas, pues también tiene este tipo de soluciones. Dirac justificó esto interpretando al vacío como un conjunto de estados de energía negativa que están completamente ocupados, el famoso mar de Dirac. Así los electrones, que cumplen el principio de exclusión de Pauli, tendrían prohibido ocupar estos estados.

En situaciones en las que existiera un hueco en este mar, este hueco correspondería a una partícula cargada positivamente, en un principio se pensó que podría ser el protón, pero esto tenía varias complicaciones. 

Pero en 1932 se descubrió el positrón, una partícula con la misma masa del electrón pero con carga positiva que poseía todas las características predichas teóricamente por este hueco. Entonces, estos estados de energía negativa corresponden a la antimateria.