Análisis sobre la piedra filosofal en "Full Metal Alchemist" como esponja de entropía

Durante siglos se ha hablado sobre una sustancia milagrosa capaz de convertir el plomo en oro, incluso otorgar el elixir de la vida. Según los alquimistas de la época, era algo tan grande que representaba la mismísima perfección en su estado más puro, no por nada le llamaban Opus Magnum. 

Su influencia en la cultura popular es evidente, muchas novelas, comics, películas, anime, videojuegos, etc. han tomado de inspiración esta mítica sustancia. Pero voy a centrar este análisis en el caso particular de Full Metal Alchemist (ambas versiones, 2013 Brotherhood), se usarán casos que ocurren en el manga/anime como modelos del cual podemos partir y escribir ecuaciones que permitan hacer predicciones sobre el comportamiento de la alquimia y la piedra filosofal.

Procesos termodinámicos

Para poder indagar sobre la naturaleza de los procesos alquímicos en FMA voy a suponer que las leyes de la física, en particular las de la termodinámica, son válidas. De las 4 leyes (la cero, primera, segunda y tercera), las que más intervienen en estos procesos son la primera y la segunda, que hablan sobre la conservación de la energía y el aumento de la entropía.

Supongamos que tenemos un sistema termodinámico, la ecuación diferencial de la energía es

$$dU=d_iQ+d_iW$$

esto significa que un cambio en la energía (dU) será igual a una transferencia de calor (el primer término del lado derecho) más un trabajo realizado sobre el sistema (el segundo término del lado derecho). Esa i sub índice significa que es una diferencial inexacta, esto quiere decir que el valor total del cambio puede variar según el camino que se tome de los estados inicial y final. Nótese que aunque el calor y el trabajo son diferenciales inexactas, la energía total del sistema es una diferencial exacta y solamente depende de los estados inicial y final (por eso es que a la energía se le llama función de estado).

El concepto de entropía (S) es fundamental para este análisis, es una función de estado que describe el nivel de desorden de un sistema. Por ejemplo, un jarrón roto tiene más entropía que el mismo jarrón antes de romperse (antes de sufrir un cambio).
Podemos expresar de forma matemática a la entropía como 

$$dS=\frac{d_iQ}{T}$$

 con T la temperatura absoluta del sistema. Con esto, podemos escribir la primera ecuación fundamental de este trabajo

$$dU=TdS+d_iW$$

Aunque el desarrollo de esta ecuación fue apresurado y quedaron muchas cosas en el aire, es suficiente para revisar algunos aspectos de la alquimia mostrados en el anime. No es necesario adentrarse mucho en el anime para encontrar un ejemplo, en el primer capítulo (de la versión del 2003) se muestra el funcionamiento de la alquimia cuando Alphonse repara una radio que rompió por su altura.

Analicemos este ejemplo, pues lo mismo que se utilice para este será válido para cualquier otro caso. Antes de caer, la radio estaba en un estado,  que llamaré 1, luego cae y pasa a un estado que llamaré 2. Este es un ejemplo de un proceso irreversible, pues la energía que obtuvo la radio al caer no puede ser recuperada de ningún modo, esto implica que 

$$S_2-S_1>0$$

¿Qué es lo que debería ocurrir para poder devolver la radio al estado 1, suponiendo que es posible? Lo primero sería recuperar la energía gastada en la caída, fácilmente podemos modelar esto con la ecuación típica de cinemática 

$$E_{pot}=mgh$$

por lo que se puede simplemente poner la radio en su lugar original y listo. Lo verdaderamente interesante ocurre con la entropía. Es conveniente pensar que la temperatura inicial y final es la misma, no es una suposición muy fuerte. Por lo que el cambio total en la entropía es 

$$\Delta{S}=T(S_2-S_1)$$

Es esta cantidad de entropía que se debe quitar al sistema y entregárselo al universo para que se recupere el estado 1.

Sea el sistema B el sistema al cual le entregaremos la entropía que le quitemos a la radio, entonces el proceso debe ser como se muestra en la figura.

W sub A es algo a lo que se llamará “trabajo alquímico”, así 

$$\Delta{S_2}=\Delta{S}+\frac{W_A}{T}$$

Esta es la forma en la que no se rompería la segunda ley de la termodinámica, pues aunque el sistema de la radio sufriera una disminución en su entropía, la entropía del universo (radio, sistema B, alrededores) si es mayor que 0.

Podemos generalizar esto de la forma

$$0=\int_1^2dU+\int_2^1dU=\int_1^2(TdS+d_iW)+\int_2^1(TdS+d_iW)-W_A$$

$$\rightarrow T\Delta{S_1}+W+T\Delta{_2}-W-W_A=0$$

$$ \rightarrow T(\Delta{S_1}+\Delta{_2})=W_A \geq 0$$

Esta ecuación nos permite saber el gasto energético del alquimista que realiza una transmutación a temperatura constante. O viéndolo desde otro punto de vista, lo que el alquimista debe sacrificar para realizar la transmutación, podemos llamar a esta ultima ecuación el principio de intercambio equivalente.

La piedra filosofal como esponja de entropía

Un reservorio de una cantidad “a” es un sistema que puede otorgar una cantidad indefinida de la magnitud a otro sistema sin verse afectado en lo más mínimo. Por ejemplo, el mar se puede considerar un reservorio de calor si lo comparamos con un cubo de hielo, echar el cubo de hielo al mar no cambiará de forma perceptible la temperatura del mar, aunque el hielo se derrita.
Entonces defino esponja de “a” como un sistema que puede absorber una cantidad indefinida de la magnitud a, un ejemplo sería un glaciar comparado con el fuego de un fosforo.

Pensemos ahora en los poderes de la piedra filosofal, violar el principio de intercambio equivalente. Esto tiene el inconveniente de que, aparentemente, viola la conservación de la energía. Así que estableceré unas ideas que sirven para proponer un modelo que esté en concordancia con las leyes físicas y lo visto en la serie.

Primero se necesita el concepto de proceso reversible. Un proceso reversible es aquel en el que se puede regresar al estado inicial del sistema sin pérdidas, podemos expresar esto matemáticamente como 

$$d_iQ=0 \rightarrow dS=0$$

Por lo que en un proceso reversible la entropía se mantiene constante.
Una forma de realizar un proceso reversible es dividir todo el proceso en mini procesos, y cada uno hacerlo de forma lenta y paulatina, de tal forma que el sistema siempre esté en equilibrio.

Visto lo visto, puedo aventurarme a decir que la piedra filosofal no viola el principio de equivalencia, lo que hace es 

$$W_A=0$$

Que es el caso particular de un proceso a entropía constante (para no decir reversible).

¿Esto tiene sentido físico?, puedo intentar dárselo considerando lo siguiente.
Si la piedra filosofal se comporta como una esponja de entropía podrá absorber una cantidad muy grande de entropía, comparada con la del objeto a transmutar, sin que esta cambie sus propiedades.

Así, se puede explicar que se pueda realizar una transmutación sin tener los materiales necesarios, simplemente absorbe una cantidad S de entropía tan grande que 

$$TS=W_A$$

También tiene sentido recordando como el homúnculo Lust es derrotada, el coronel Roy Mustang le aplicó tanta energía que la aproximación de esponja de entropía ya no podía ser válida, y el principio de intercambio equivalente toma su forma $$W_A>0$$

 

 

 

Conclusiones

Aunque la alquimia de FMA/B parezca mágica, unas cuantos pensamientos dieron un sentido físico a todo lo mostrado en la serie. El fuego de Roy Mustang, crear puños de tierra con el suelo, crear quimeras, toda transmutación es válida por las leyes de la termodinámica.

Pero el logro más importante de este trabajo es el tener un modelo que permite hacer los cálculos de la energía necesaria para una transmutación, cálculos que se pueden realizar a través del principio de intercambio equivalente, el cual se pudo expresar de forma matemática y precisa.